Fill me inは、直訳すると、「自分の知らない情報を埋めてください」という意味です。ミーティングなどに参加できなかった時に、その内容を教えてもらいたいときに使う表現です。

keep +（誰）+ updated”で「最新情報を（誰に）教えてください」という意味で、非常によく使われる表現です。
 
学校英語の文法では「keep+目的語+動詞の過去分詞形」と紹介されています。
 
文法をひたすら勉強するのではなく、このように実際に日常会話やビジネスの場面において利用される表現を学び、その後に文法を理解する方が効率的です。

Keep me updatedと同じ意味で、何かがあったら、随時知らせてほしいときに使います。

Keep me in the loopは直訳すると、「仲間（輪）に入れてください。」となり、情報を随時共有する仲間の中に入れておいてくださいという意味です。

“on the same page”を直訳すると、「同じページにいる。」という意味です。
 
物事に対して、同意しているか、もしくは、同じ理解度であるのかを確認したいときに使います。

“Reach out”は、自分から積極的に働きかけるというニュアンスがあります。

“touch base”は、連絡をし、最新の情報を聞く、またはアドバイスなどを得るという意味があります。

緊急でお願いしなければいけないときには、
 
“needs to be”（「…する必要があります」）と”as soon as possible”（「できるだけ早く」）という表現が利用できます。
 
命令している印象も与えますので、同僚や部下に使う使います。
 
同じように、例えば”This job has to be done as soon as possible.”といえば、「この仕事をできるだけ早く終わらせる必要がある。」となります。

ある程度の時間のかかる作業をすぐにはじめるということが伝わります。
 
“Right”は「右、正しい」などという意味ですが、「今まさに」といった意味もあります。
 
例えば「今」と言いたい時”now”ではなく、”right now”と言えば「まさに今」というニュアンスになります。
 
また、”Please start right away.”と言えば「今すぐに始めてください。」という意味になります。

“I’ll get to it as soon as〜”は、何かの作業が終わり次第とりかかると言いたいときに使える表現です。

“Working on”は、現在取り組んでいる作業があるときに「今それをしている」と言いたい使います。
 
“work on 〜”は何か「課題、タスク、作業などをする。」という意味です。
 
例えば”We have been working on this project for a very long time, but we have not finished it.”と言うと、
 
「このプロジェクトに長い期間取り組んでいますが、まだ終了していません。」という意味です。

The bottom line is…は、「要するに」という意味です。

やらなければいけないことが多く、余裕がないという意味です。何かを頼まれた時に、「もうこれ以上は仕事を引き受けられません。」と断りたい時にも使えます。

お昼休みをとるときに一言報告する時に使います。

お昼休みをとる時やオフィスを一時的に出なければいけないときに、何時に戻るか報告したいときに使います。
 
“Be back”は、「戻ってくる」という意味で頻繁に使います。
 
例）
“I will be back in a few minutes.”(「数分で戻りますね。」)
“She should be back at around noon.”(「彼女はお昼くらいに戻ってくると思います。」)